Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 3 e^{t} & e^{2 t} \\ 2 e^{t} & 2 e^{2 t} \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 e^{t} (2 e^{2 t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \cdot 2 e^{t} e^{2 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $e^{t}$ mit $e^{2 t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.2.1

Bewege $e^{2 t}$ .

$3 \cdot 2 (e^{2 t} e^{t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

Schritt 2.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \cdot 2 e^{2 t + t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

Schritt 2.2.1.2.3

Addiere $2 t$ und $t$ .

$3 \cdot 2 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

Schritt 2.2.1.4

Multipliziere $e^{t}$ mit $e^{2 t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.4.1

Bewege $e^{2 t}$ .

$6 e^{3 t} - 2 (e^{2 t} e^{t})$

Schritt 2.2.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 e^{3 t} - 2 e^{2 t + t}$

Schritt 2.2.1.4.3

Addiere $2 t$ und $t$ .

$6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $2 e^{3 t}$ von $6 e^{3 t}$ .

$4 e^{3 t}$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{4 e^{3 t}} [\begin{array}{c} 2 e^{2 t} & - e^{2 t} \\ - 2 e^{t} & 3 e^{t} \end{array}]$

Schritt 5

Multipliziere $\frac{1}{4 e^{3 t}}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4 e^{3 t}} (2 e^{2 t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 e^{3 t}$ heraus.

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{2 e^{3 t}}$ und $e^{2 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{2 t}$ und $e^{3 t}$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $e^{3 t}$ aus $e^{2 t}$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1

Faktorisiere $e^{3 t}$ aus $2 e^{3 t}$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.6

Kombiniere $e^{2 t}$ und $\frac{1}{4 e^{3 t}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{2 t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{2 t}$ und $e^{3 t}$ .

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Schritt 6.7.1

Faktorisiere $e^{3 t}$ aus $e^{2 t}$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.7.2.1

Faktorisiere $e^{3 t}$ aus $4 e^{3 t}$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.9.2

Faktorisiere $2$ aus $4 e^{3 t}$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.9.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.10

Kombiniere $e^{t}$ und $\frac{1}{2 e^{3 t}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{t}$ und $e^{3 t}$ .

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Schritt 6.11.1

Faktorisiere $e^{3 t}$ aus $e^{t}$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.11.2.1

Faktorisiere $e^{3 t}$ aus $2 e^{3 t}$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Schritt 6.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & 3 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

Schritt 6.13

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{4 e^{3 t}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

Schritt 6.14

Kombiniere $\frac{3}{4 e^{3 t}}$ und $e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{t}}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

Schritt 6.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{t}$ und $e^{3 t}$ .

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Schritt 6.15.1

Faktorisiere $e^{3 t}$ aus $3 e^{t}$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

Schritt 6.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.15.2.1

Faktorisiere $e^{3 t}$ aus $4 e^{3 t}$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

Schritt 6.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

Schritt 6.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{- 2 t}}{4} \end{array}]$